O presente livro tem como objectivo principal fornecer aos alunos de mestrado e pós-graduação, um texto de introdução à Matemática Actuarial aplicável em Seguros de Vida, Segurança Social e Pensões, contribuindo dessa forma para a sua formação e aperfeiçoamento. Trata-se de um texto básico, que procura cobrir os temas que se colocam ao Actuário em início de carreira, tentando simultaneamente introduzir alguns conceitos actuais, num domínio tradicionalmente convencional, com ênfase em modelos probabilísticos e estocásticos. Procede-se à identificação das variáveis aleatórias dos modelos apresentados bera como ao cálculo ou indicação das respectivas funções de distribuição. Os modelos de risco associados ao projecto solvência II são também abordados, nomeadamente os modelos de taxas de juro, as métricas Var e Tailvar. Índice PARTE I O MODELO TRADICIONAL CAPÍTULO 1 O COMPORTAMENTO DA MORTALIDADE 1.1 Introdução 1.2 Funções de sobrevivência e probabilidades associadas 1.2.1 Função de sobrevivência 1.2.2 Esperança de vida 1.2.3 A força de mortalidade μx 1.2.4 Densidade de probabilidade associada ao tempo de vida 1.3 Tábuas de mortalidade 1.3.1 Taxa central de mortalidade 1.4 Leis de mortalidade 1.4.1 Algumas tábuas recentes CAPÍTULO 2 SEGUROS DE VIDA 2.1 Introdução 2.2 Juros e actualização fnanceira 2.3 Valor actual esperado ou valor actuarial 2.4 A noção de prémio puro 2.5 Seguro de capital diferido – factor de desconto actuarial CAPÍTULO 3 RENDAS DEPENDENTES DA VIDA HUMANA 3.1 Introdução 3.2 Anuidades imediatas 3.3 Anuidades diferidas 3.4 Anuidades fraccionadas 3.5 Anuidades contínuas 3.6 A função de distribuição de uma anuidade contínua 3.7 Os momentos de uma anuidade vitalícia 3.8 Anuidades variáveis em progressão geométrica 3.9 Anuidades variáveis em progressão aritmética 3.10 Anuidades variáveis contínuas 3.11 Resumo de anuidades sobre uma cabeça CAPÍTULO 4 SEGUROS EM CASO DE MORTE E MISTOS 4.1 Introdução 4.2 Seguro de vida inteira 4.3 Seguro temporário 4.4 Seguro misto 4.5 Seguros de capital variável geometricamente 4.6 Seguros de capital variável aritmeticamente 4.7 Relações entre seguros e anuidades 4.7.1 Seguros pagos no final do ano da morte 4.7.2 Seguros pagos no momento da morte 4.8 Resumo dos seguros sobre uma cabeça CAPÍTULO 5 PRÉMIOS 5.1 Introdução 5.2 Prémios anuais 5.3 Prémios anuais fraccionados 5.4 Prémios de tarifa 5.5 Prémios de algumas modalidades tradicionais 5.6 Resumo de prémios para algumas modalidades CAPÍTULO 6 RESERVAS MATEMÁTICAS 6.1 Introdução 6.2 Reservas puras pelo método prospectivo 6.3 Reservas de inventário e comerciais pelo método prospectivo 6.4 Reservas matemáticas intercalares e de balanço 6.5 Reservas pelo método retrospectivo 6.6 Reservas pelo método de recorrência 6.7 Reservas fora da data aniversária 6.8 Reservas de Zillmer 6.9 O efeito nas reservas matemáticas de variações na taxa de juro ou na mortalidade 6.10 Resumo do formulário sobre reservas matemáticas CAPÍTULO 7 ALTERAÇÕES DE CONTRATOS 7.1 Introdução 7.2 Noção de valor de resgate 7.3 Valor de redução (ou liberação) 7.4 Outras alterações 7.5 Resumo de alterações de contratos CAPÍTULO 8 SEGUROS SOBRE VÁRIAS PESSOAS 8.1 Introdução 8.2 Probabilidades sobre várias cabeças 8.3 A força de mortalidade conjunta 8.4 Casos especiais das leis de Makeham e Gompertz 8.5 Grupos generalizados 8.5.1 Grupos extintos à última morte 8.5.2 Grupos extintos à k-ésima morte 8.5.3 Estados compostos 8.5.4 Rendas de sobrevivência 8.5.5 Rendas reversíveis 8.6 Resumo de formulário sobre várias cabeças CAPÍTULO 9 SEGUROS COMPLEMENTARES E RISCOS AGRAVADOS 9.1 Introdução 9.2 Complemento de capital em caso de invalidez 9.3 Complementos de morte por acidente 9.4 Riscos agravados ou desagravados PARTE II MODELOS UNIVERSAL LIFE E UNIT LINKED CAPÍTULO 10 O MODELO UNIVERSAL LIFE 10.1 Introdução 10.2 Descrição sucinta 10.3 A cobertura por morte 10.4 Exemplos de contratos Universal life 10.5 Os prémios e sua possível evolução 10.6 Outros aspectos específicos CAPÍTULO 11 O MODELO UNIT LINKED 11.1 Introdução 11.2 Descrição dos fundos associados 11.3 O activo e o passivo 11.4 As unidades e sua valorização 11.5 Exemplos de modelos de Unit linkedv 11.5.1 O modelo americano New York Life 11.5.2 O modelo Unit linked em Inglaterra 11.5.3 O modelo francês de capital variável 11.5.4 Modelos em vigor em Portugal 11.6 Tendências PARTE III INTRODUÇÃO AO MODELO MARKOVIANO CAPÍTULO 12 O PROCESSO DE MARKOV E A VIDA HUMANA 12.1 Introdução 12.2 Probabilidades, intensidades e taxas de transição 12.2.1 Probabilidades de transição 12.2.2 Matrizes de transição 12.2.3 Intensidades de transição 12.2.4 As equações progressiva e regressiva de Chapman -Kolmogorov 12.2.5 Densidades de probabilidade associadas à permanência em determinado estado 12.2.6 Classificação dos diferentes estados 12.2.7 Taxas de transição CAPÍTULO 13 PRINCIPAIS FUNÇÕES ACTUARIAIS 13.1 Prémios e valores actuariais 13.2 Reservas pelo método prospectivo PARTE IV INTRODUÇÃO AOS FUNDOS DE PENSÕES CAPÍTULO 14 FUNDOS DE PENSÕES 14.1 Introdução 14.2 Definições 14.3 Planos de pensões e planos de benefícios de saúde 14.4 Formas de pagamento dos benefícios CAPÍTULO 15 PLANOS DE BENEFÍCIO DEFINIDO (BD) 15.1 Introdução 15.2 Principais tipos de planos BD 15.2.1 Planos sobre o salário final 15.2.2 Planos sobre o salário de carreira 15.2.3 Outros tipos de planos e benefícios 15.3 Alguns conceitos actuariais de base 15.3.1 Introdução 15.3.2 Glossário 15.3.3 Parâmetros e tabelas a considerar 15.3.4 Os benefícios 15.3.5 Saídas do plano CAPÍTULO 16 MÉTODOS DE FINANCIAMENTO EM PLANOS BD 16.1 Introdução 16.2 Métodos de custo individual 16.2.1 Prémio nivelado individual (Individual level premium) 16.2.2 Unidade de pensão creditada (Unit credit) 16.2.3 Idade atingida – individual (Individual attained age) 16.2.4 Financiamento inicial (Initial funding) 16.2.5 Financiamento final (Terminal funding) 16.3 Métodos de custo agregado 16.3.1 Idade de entrada (Entry age) 16.3.2 Método agregado (Aggregate cost method) 16.3.3 Contribuição constante 16.3.4 Idade atingida (Attained age) 16.3.5 Reposição do nível de financiamento 16.4 Objectivos de financiamento 16.5 Direitos adquiridos 16.5.1 Introdução 16.5.2 Responsabilidades por direitos adquiridos 16.5.3 Transferência de direitos adquiridos CAPÍTULO 17 PLANOS DE CONTRIBUIÇÃO DEFINIDA (CD) 17.1 Introdução 17.2 Principais tipos de planos CD 17.3 Planos de objectivo definido 17.3.1 Taxa de substituição individual pré-fixada 17.3.2 Taxa de contribuição global pré-fixada 17.3.3 Nível de poupança CAPÍTULO 18 INVALIDEZ, SOBREVIVÊNCIA E REFORMAS ANTECIPADAS 18.1 Pensões de invalidez e sobrevivência 18.1.1 Introdução 18.1.2 Pensões de invalidez 18.1.3 Pensões de sobrevivência 18.1.4 Sobrevivência imediata 18.1.5 Sobrevivência diferida 18.2 Pensões de pré-reforma e reforma antecipada 18.2.1 Introdução 18.2.2 Pensões de pré-reforma 18.2.3 Reforma antecipada CAPÍTULO 19 GANHOS E PERDAS EM PLANOS DE BENEFÍCIO DEFINIDO 19.1 Introdução 19.2 Desvios de origem financeira 19.3 Desvio global e desvios parciais (activos) 19.4 Desvios-análise detalhada 19.5 O tratamento dos desvios acumulados 19.6 Medidas de performance PARTE V RISCO-IDENTIFICAÇÃO E MODELOS CAPÍTULO 20 SOLVÊNCIA 20.1 Introdução 20.2 Os três pilares do modelo Solvência II 20.3 Os riscos e sua classificação 20.4 Avaliação do impacto no capital de solvência CAPÍTULO 21 INTRODUÇÃO AO PROFIT TESTING 21.1 Introdução 21.2 O cálculo de cash-flows 21.3 Lucros esperados e sua avaliação 21.4 Aplicação do modelo a um conjunto de apólices 21.5 Solvência e profit testing 21.6 Embedded value (Valor intrínseco) 21.6.1 Pressupostos que influenciam o cálculo do embedded value 21.6.2 Aplicação a uma carteira de seguros mistos CAPÍTULO 22 INTRODUÇÃO ÀS TÉCNICAS DE ALM 22.2 Princípios metodológicos 22.3 Alguns modelos determinísticos 22.4 Os modelos estocásticos 22.5 Variações populacionais e contribuições CAPÍTULO 23 MODELOS ESTOCÁSTICOS DA TAXA DE JURO 23.1 Estrutura temporal das taxas de juro 23.1.1 Taxas de juro spot 23.1.2 Determinação das taxas de juro spot 23.1.3 Taxas de juro forward 23.1.4 Relação entre as taxas de juro spot e as taxas de juro forward 23.1.5 Par Yields 23.1.6 Outra notação 23.1.7 Modelos da taxa de juro 23.2 Valores acumulados em situação de incerteza 23.2.1 Taxas de juro mutuamente independentes e identicamente distribuídas 23.2.2 Taxas mutuamente independentes, mas não identicamente distribuídas 23.2.3 Taxas de juro dependentes CAPÍTULO 24 VALUE AT RISK 24.1 Introdução 24.1.1 Reward Risk Ratios (RRR) e volatilidade 24.2 Risco 24.3 Tipos de riscos financeiros 24.3.1 Risco de Mercado 24.3.2 Risco de Crédito 24.3.3 Risco de Liquidez 24.3.4 Risco Operacional 24.3.5 Risco Legal 24.4 Value at Risk (VaR) 24.4.1 Medidas. Medidas de Risco 24.4.2 A filosofia subjacente ao VaR 24.4.3 Apresentação elementar dos métodos de cálculo do VaR 24.4.4 Cálculo do VaR em portfólios mais complexos 24.4.5 Construção de uma medida VaR 24.4.6 Argumentos pró e contra VaR 24.4.7 Medidas de risco coerentes PARTE VI APÊNDICES APÊNDICE A - Exercícios APÊNDICE B - Lista de Símbolos APÊNDICE C - Soluções/Tópicos de resolução de Exercícios Bibliografia